אורך מנפח, אורך וקטור וזוויות במרובע – בגרות חורף 2023וקטורים 472 · שיעור 17
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′. הנקודה E היא מפגש אלכסוני הפאה AA′D′D.
נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w. הנקודה F מקיימת: EF = 12u.
א. (1) הביעו את הווקטורים BD′ ו־AE באמצעות u, v ו־w. (2) הוכיחו: BF = 12BD′. (פתרנו בשיעור 8)
ב. (1) הסבירו מדוע EF מקביל ל־AB. (2) הוכיחו: AB מאונך ל־AE. (פתרנו בשיעור 14)
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון: בסיס התיבה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 2. נפח התיבה הוא 16.
ג. (1) חשבו את אורך המקצוע הצדדי של התיבה. (2) חשבו את אורך הווקטור BF.
ד. (1) חשבו את גודל הזווית ABF. (2) מצאו את הגדלים של שאר הזוויות של המרובע AEFB.
סעיף ג (1) – אורך המקצוע הצדדי
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 8 , שיעור 14):
סעיף א (1) – הבעת BD′ ו־AE: BD′ = −u + v + w
AE = 12v + 12w
סעיף א (2) – הוכחה ש־BF = 12BD′: הוכחנו: BF = 12BD′
סעיף ב (1) – למה EF מקביל ל־AB: EF הוא כפולה של AB ← EF ∥ AB
סעיף ב (2) – הוכחה ש־AB מאונך ל־AE: הוכחנו: AB · AE = 0 ← AB ⊥ AE
סעיף א (1) – הבעת BD′ ו־AE: BD′ = −u + v + w
AE = 12v + 12w
סעיף א (2) – הוכחה ש־BF = 12BD′: הוכחנו: BF = 12BD′
סעיף ב (1) – למה EF מקביל ל־AB: EF הוא כפולה של AB ← EF ∥ AB
סעיף ב (2) – הוכחה ש־AB מאונך ל־AE: הוכחנו: AB · AE = 0 ← AB ⊥ AE
נסמן ב־h את המקצוע הצדדי AA′. הבסיס ריבוע שצלעו 2:
V = AB · AD · AA′
📐 נפח תיבה
נציב AB = AD = 2 , AA′ = h:
📐 נפח תיבה
V = a · b · c
סעיף ג (1) – אורך המקצוע הצדדי · המשך
נציב AB = AD = 2 , AA′ = h:
V = 2 · 2 · h = 4h
נציב V = 16 (נתון):
4h = 16
h = 4
✅ פתרון סופי: המקצוע הצדדי: 4
סעיף ג (2) – אורך BF
קודם אורך האלכסון BD′ – אלכסון התיבה, שמקצועותיה 2, 2 ו־4:
|BD′| = √AB2 + AD2 + AA′2
📐 אלכסון תיבה
נציב AB = AD = 2 , AA′ = 4:
|BD′| = √22 + 22 + 42
|BD′| = √4 + 4 + 16 = √24 = 2√6
לפי סעיף א (2), BF הוא חצי מ־BD′:
📐 אלכסון תיבה
d = √a2 + b2 + c2
סעיף ג (2) – אורך BF · המשך
לפי סעיף א (2), BF הוא חצי מ־BD′:
|BF| = 12 · |BD′|
📐 אורך של כפולת וקטור
נציב |BD′| = 2√6:
|BF| = 12 · 2√6 = √6 ≈ 2.45
✅ פתרון סופי: |BF| = √6 ≈ 2.45
📐 אורך של כפולת וקטור
|k · a| = |k| · |a|
סעיף ד (1) – הזווית ABF
הזווית ABF היא הזווית בין הווקטורים BA = −u ו־BF = −12u + 12v + 12w.
נתונים לחישוב: |u| = 2 , |v| = 2 , |w| = 4, וכל המכפלות u · v , u · w , v · w שוות 0.
נציב BA = −u , BF = −12u + 12v + 12w:
BA · BF = −u · (−12u + 12v + 12w)
📐 פילוג במכפלה סקלרית
BA · BF = 12u · u − 12u · v − 12u · w
📐 ריבוע של וקטור
נציב u · u = |u|2 = 4 , u · v = u · w = 0:
📐 פילוג במכפלה סקלרית
a · (b + c) = a · b + a · c
📐 ריבוע של וקטור
a · a = |a|2
סעיף ד (1) – הזווית ABF · המשך
נציב u · u = |u|2 = 4 , u · v = u · w = 0:
BA · BF = 12 · 4 − 12 · 0 − 12 · 0 = 2
cos ∢ABF = BA · BF|BA| · |BF|
📐 זווית בין וקטורים
נציב BA · BF = 2 , |BA| = 2 , |BF| = √6:
cos ∢ABF = 22 · √6 = 1√6 ≈ 0.4082
∢ABF ≈ 65.91 מעלות
📐 זווית בין וקטורים
cos ∢ = a · b|a| · |b|
סעיף ד (1) – הזווית ABF · המשך
∢ABF ≈ 65.91 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ABF ≈ 65.91 מעלות
סעיף ד (2) – שאר הזוויות של AEFB
לפי סעיף ב: EF ∥ AB – לכן AEFB הוא טרפז (בסיסים AB ו־EF). ולפי סעיף ב (2): AB ⊥ AE.
∢EAB = 90
📐 סעיף ב (2)
∢AEF + ∢EAB = 180
📐 זוויות בטרפז
נציב ∢EAB = 90:
∢AEF + 90 = 180 ⟸ ∢AEF = 180 − 90 = 90
∢EFB + ∢ABF = 180
📐 זוויות בטרפז
📐 סעיף ב (2)
AB ⊥ AE
📐 זוויות בטרפז
בטרפז, סכום שתי זוויות שליד אותה שוק הוא 180 מעלות
📐 זוויות בטרפז
בטרפז, סכום שתי זוויות שליד אותה שוק הוא 180 מעלות
סעיף ד (2) – שאר הזוויות של AEFB · המשך
∢EFB + ∢ABF = 180
📐 זוויות בטרפז
נציב ∢ABF ≈ 65.91 (סעיף ד (1)):
∢EFB + 65.91 ≈ 180 ⟸ ∢EFB ≈ 180 − 65.91 = 114.09
בדיקה: 90 + 90 + 114.09 + 65.91 = 360 ✓
✅ פתרון סופי: ∢EAB = 90
∢AEF = 90
∢EFB ≈ 114.09 מעלות
∢AEF = 90
∢EFB ≈ 114.09 מעלות
📐 זוויות בטרפז
בטרפז, סכום שתי זוויות שליד אותה שוק הוא 180 מעלות
📌 סיכום התשובות
סעיף ג (1)
4
סעיף ג (2)
√6 ≈ 2.45
סעיף ד (1)
≈ 65.91 מעלות
סעיף ד (2)
90 , 90 , 114.09 מעלות
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא